Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi

Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi

Dasar dalam pembahasan penyelesaian analitis persoalan optimasi ini adalah Mathematic (Simbolic) Model yang telah dipelajari sebelumnya.

Ada beberapa persoalan optimasi, diantaranya adalah :

1. Optimasi tanpa kendala

2. Optimasi dengan kendala persamaan

3. Optimasi dengan kendala pertidaksamaan

Salah satu teknik yang digunakan untuk menganalisis alternatif keputusan adalah Riset Operasi. Riset Operasi merupakan metode pengoptimalan proses pengambilan keputusan yang dibatasi ketersediaan sumber daya. Penggunaan riset operasi sangat luas, pendekatannya menggunakan metode ilmiah. Proses pengoptimalan mulai dengan pengamatan yang mendalam dan formulasi masalah lalu diikuti dengan pembentukan model ilmiah (khususnya model matematik) yang menggambarkan inti sistem nyata. Model yang dibentuk harus mencukupi sebagai representasi tepat sifat-sifat penting situasi, sehingga kesimpulan yang ditarik dari model valid untuk permasalahan nyata.

Kontribusi riset operasi berasal dari :

1.         Penstrukturan situasi dunia nyata ke model matematik, menggambarkan elemen penting sehingga penyelesaian yang relevan ke tujuan pengambil keputusan diperoleh, termasuk mencari permasalahan dalam konteks keseluruhan sistem.

2.         Mengeksplor struktur setiap penyelesaian dan mengembangkan prosedur sistematis untuk mendapatkannya.

3.         Mengembangkan suatu penyelesaian, termasuk teori matematik jika perlu, yang menghasilkan nilai optimal ukuran sistem yang diinginkan (atau mungkin membandingkan alternatif tindakan dengan mengevaluasi ukuran yang diinginkan).

Dilihat dari data yang digunakan untuk memfasilitasi, pengambilan keputusan dapat dibedakan menjadi keputusan pasti, berisiko dan tidak pasti. Keputusan pasti didukung oleh data-data pasti. Diantara keputusan pasti dan tidak pasti ada keputusan beresiko. Pengambilan keputusan berisiko didukung oleh data yang tidak pasti, tetapi ketidakpastian itu dapat dinyatakan dalam bentuk peluang.

Optimasi adalah proses pencarian solusi yang terbaik; tidak selalu keuntungan paling tinggi yang bisa dicapai jika tujuan pengoptimalan adalah memaksimumkan keuntungan; atau tidak selalu biaya paling kecil yang bisa ditekan jika tujuan pengoptimalan adalah meminimumkan biaya. Tiga elemen permasalahan optimasi yang harus diidentifikasi, yaitu tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Tujuan bisa berbentuk maksimisasi atau minimisasi.

Contoh

PT ADIRATNA yang akan memproduksi 2 jenis produk yaitu kain sutera dan kain wall untuk memproduksi 2 produk di perlukan bahan suter, bahan wall dan  juga tenaga kerja. Maksimum persediaan penyediaan benag sutera adalah 6 kg perhari, benag wall adalah 30 kgperhari, dan tenaga kerja 40 jam perhari. Kebutuhan setiap unit produc akan bahan baku dan jam kerja dapat dilihat dalam tabel berikut :

Jumlah bahan baku dan tenaga kerja	Kain sutera	Kain wall	Max penyediaan
Benang sutera	2	3	60 kg
Benang wall	-	2	30 kg
Tenaga kerja	2	1	40 jam

  

Ke 2 jenis produk memberikan keuntungan 40 jtuntuk khusus kain sutera dan 30 jt untuk kain wall. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit tiap jenis produk yang akan diproduk setiap hari agar mendapatkan keuntungan yang maksimal?

Langkah-langkah: 

1.      Tentukan variabel

x₁=kain sutera

x₂=kain wall

2.      Fungsi tujuan

Zmax = 40 x₁ + 30x₂

3.      Fungsi batasan

1.      2x₁+3x₂ ≤ 60 (benang sutera)

2.      2x₂ ≤ 30        (benang wall)

3.      2x₁+3x₂ ≤40 (tenaga kerja)

4.      Menentukan grafik

1.      2x₁+3x₂ ≤ 60 (benang sutera)

X₁=0 x₂ =60/3=20

X₂₌0, x₁ = 60/2=30

2.      2x₂ = 30

X₂  = 15   

3.      2x₁+3x₂ = 40

X₁=0 , x₂ = 40

X₂₌0, x₁ = 40/2 = 20.

Cara mendapatkan solusi optimal

·         Mencari stiap titik-titik

·         Mencari titik potong (1 dan 3)

Cara mendapatkan solusi optimal:

1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A 

X1=0, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

X1=20, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2   = 40

  2X2=20  X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30  X1 = 15

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900   (optimal)

Titik D

2X2 = 30

  X2 = 15

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3 . 15 = 60

2X1 + 45 = 60

2X1 = 15  X1 = 7,5

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan : 

untuk  memperoleh  keuntungan  optimal,  maka  X1  =  15  dan  X2  =  10  dengan

keuntungan sebesar Rp 900 juta.

2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.

Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah

feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.

Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala

(1) dan (3).

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2   = 40

  2X2=20

    X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30  X1 = 15

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900